Paradoxo de Monty Hall

[Rustu Pai]

"Paradoxo de Monty Hall

O paradoxo de Monty Hall surgiu de um concurso televisivo norte-americano - Let’s Make a Deal.
O jogo consiste no seguinte: Monty Hall apresenta 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas existe um carro e que as outras não têm nenhum prémio.
1 - Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta;
2 - De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
3 - Agora com duas portas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo ou se muda para a outra porta que ainda está fechada.

Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta.
À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prémio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.

Dificil de entender? vejam este exemplo.

Imaginem que em vez de 3 portas eram 1000 portas. O Monty Hall pede que se escolha uma porta. Neste momento há 1/1000 de probabilidades de ganhar o carro. De seguida, e à semelhança do que se fez com as 3 portas, ele abre, de entre as 999 restantes, 998 portas que estão vazias. Ficam duas protas abertas: a porta escolhida pelo concorrente e a porta que o MH não abriu. Haverá alguma razão para estas duas portas terem 50% de probabilidade cada uma de conter o carro? Claro que não. Quando se escolheu a porta, não eram duas portas mas 1000, e é com base nesse momento de escolha que é estabelecida a propabilidade de 1/1000 de se ganhar o carro. Se as restantes portas em conjunto tinham 999/1000 de probabilidades, a partir do momento que foram abertas 998 portas não premidas, a porta não escolhida que continuou fechada passou a deter 999/1000 de probabilidade de ter o carro."

http://enigma.weblog.com.pt/arquivo/085543.html (se procurar no google tme mais coisa)

 

[ombudsman]

Posso parecer um idiota completo agora, mas nao concordo mesmo com isso se foi o que eu de fato entendi.

Suponha que eu tenho que escolher uma chave entre 3 para abrir um cadeado. A unica coisa qeu eu sei é que somente uma é capaz de tal feito.
Mas no momento em que eu escolho, antes de testar, alguem pega uma das outras duas, joga fora e diz: aquela ali é falsa; e me dá o direito de re-escolher a chave.
Sinto muito, mas meu universo agora se reduziu a 2, sendo portanto, uma chance em 2 de acertar a chave; e nao 1/3

 

[Nob]

Demorei um bom tempo pra entender esse problema, mas acho que já o compreendi.

Digamos que a porta 1, que a pessoa escolhe, seja A, e as portas 2 e 3 sejam B. Há 1/3 de chance que o carro esteja em A, e 2/3 em B. Só que não é possível escolher duas portas.

Quando o apresentador abre uma das portas de B, este conjunto passa a ter somente uma porta, mas a probabilidade de o carro estar lá não muda (só mudaria se a porta que o apresentador abre tivesse o carro, o que nunca acontece). Por isso é que a porta fechada de B tem 2/3 de chance de ter o prêmio.

Outra explicação:

Há duas situações possíveis quando escolho a porta pela primeira vez. Estas são:

a) escolho uma porta não premiada, o que obriga o apresentador a abrir a outra porta não premiada;
b) escolho a porta premiada, o que dá ao apresentador a escolha de qual porta abrir;

A chance de 'a' acontecer é 2/3, e a de 'b' é de 1/3. Então, há 1/3 de chance de que eu não seja premiado se trocar de porta, o que só aconteceria na situação 'b'. Se acontecer a situação 'a' (há 2/3 de chance de isso acontecer) e eu trocar de porta, com certeza ganharei o carro.

A resposta intuitiva ao problema é a de que quando o apresentador revelou uma porta não-premiada, nós teríamos à nossa frente um novo dilema com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de que o prêmio esteja em qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O apresentador teria nos ajudado, já que nossas chances subiram de 1/3 para 1/2, mas realmente não faria diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances de possuírem o prêmio. No entanto esta resposta está errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta que nós escolhemos inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio (ele nunca abrirá uma porta premiada). Ao abrir uma porta, ele não está criando um jogo todo novo, mas está dando informações valiosas sobre o jogo original. É por isso que a resposta é tão contra-intuitiva: parece-nos que o apresentador abriu uma porta aleatoriamente, mas isso está muito longe da verdade. Como vimos, se tivermos escolhido inicialmente uma porta não-premiada, ele não tem nenhuma liberdade de escolha e só pode abrir uma porta.

http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/montyhall.htm

 

[Rustu Pai]

Realmente é meio diícil de entender. Muito mais difícil de aceitar. Em alguams comunidades do orkut, há páginas e páginas com debates sobre isso. O que geralmente acontecai é : Alguem entrava e falava : "esta errado, é 50%". Ai, deposi de um tepo, voltava e falava : "De fato, tem mais chance se trocar"...

O grande erro que cometemos, é ao eliminarmos uma porta, ignorar o fato de antes ter três portas.

Eu acho que o exemplo fica uito mais fácil aumentando o número de portas.

 

[Mithrandir the White]

Isso nao me faz sentido algum.
Se eu tinha de escolher 3 portas, e acabei escolhendo uma e outra foi "removida", agora tenho 2 portas, sabendo que uma tem um carro e outra nao. Isso se torna um novo evento probabilístico, já que nao importa o que se tinha antes, nesse caso, já que sabemos que o carro nao tava atrás da porta "removida". É 1/2, 50% de chance, e não deveria fazer a mínima diferença se você muda a sua escolha ou nao, pois a probabilidade seria a mesma.

 

[Nob]

Isso se torna um novo evento probabilístico, já que nao importa o que se tinha antes, nesse caso

Não, importa sim o que se tinha antes, pois há interferência humana: o apresentador sabe qual porta tem o prêmio. Vou mais uma vez tentar explicar melhor:

Há quatro situações possíveis quando é oferecida a opção de trocar de porta:

1) a pessoa não troca de porta e escolheu a porta premiada (1/3 de chance de acontecer);
2) a pessoa não troca de porta e não escolheu a porta premiada (2/3 de chance de acontecer).

Só por aí já dá pra ver por que não é vantajoso não trocar de porta. Há somente 1/3 de chance de que a pessoa leve o prêmio se fizer isso (situação 1).

As outras situações:

1) a pessoa troca de porta e escolheu a porta premiada (1/3 de chance de acontecer);
2) a pessoa troca de porta e não escolheu a porta premiada (2/3 de chance de acontecer).

A mesma coisa: há 2/3 de chance de que eu ganhe o prêmio ao trocar de porta.

 

[Logan Mcloud]

ele brincou com numeros e pegou vcs...


a verdade eh q quando vc escolheu a primeira porta vc tinha 1/3 de chance de acertar.... depois q a outra porta foi aberta e nao tinha o carro dentro sua chance subiu para 1/2 e apenas isso... nada mais...




Dwarf

 

[Nob]

Neste site, há um pequeno programa que simula o problema. Aqui, a proporção foi de 2,03:1 (134:66) quando se troca de porta, o que corrobora a solução "as probabilidades de se ganhar o prêmio dobram quando se troca de porta".

Caso não houvesse diferença entre trocar de porta ou não (a solução intuitiva do problema), a proporção se aproximaria de 1:1 (100:100).

Outra comprovação da resolução que eu mostrei para o problema, usando o teorema de Bayes: http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Bayes.27_theorem

 

[Balbo]

A questão é que quando você escolhe uma porta, você impede que ela seja aberta pelo apresentador, e a chance dela ser a premiada permanece a mesma.

Se primeiro o apresentador abrisse uma porta pra depois você escolher (o que não faria sentido), aí sim a chance seria 50% pra cada.

Isto é, você não pode desprezar o que você sabe na hora de calcular uma probabilidade e tomar como base apenas a quantidade de elementos envolvidos. Se você soubesse qual a porta premiada, a chance de acertar seria 100% pra essa e 0 pras outras (não 1/3 pra cada).

 

[Rustita]

Ah... no colégio o Rustu me convenceu de que a teoria que ele falava era correta, mas depois de 3 anos pensando nessa teoria e pensando e pensando... achoq ue pode estar correta... pois vc tem 1/3 de chances... depois com duas portas somente vc fica não com 50%, mas sim com 75% pra porta que vc não escolheu e 25% com a porta que vc escolheu, sei lá, mas o que me ajudou a chegar a essa conclusão é um programa do Silvio Santos.. Topa ou nõ Topa

 

[[F*U*S*A*|KåMµ§]]

Como bom físico vc pode estudar o problema no limite em que o número n de portas tende ao infinito e verificar que a porta que você escolheu tem menor chance de ser a certa em vez da outra.
Por fim, postula-se que isso é válido para todo n natural diferente de zero.

 

[Cildraemoth]

Isso está parecendo um tópico do clube da insônia.

Em se tratando de matemática, não importa o que você acha, importa o que _é_. Não é uma questão de concordar com a resposta, é uma questão de aceitar que é de tal maneira, mesmo que não seja intuitiva (e não é, mas existe uma explicação do motivo). Se você não conseguiu entender a explicação e se convencer, faça a experiência com um amigo: simule a situação algumas vezes trocando e outras mantendo a mesma escolha.

A propósito, o Sérgio Malandro tinha um quadro que era exatamente isso.

 

[Haran]

Para entender melhor o problema é mais fácil imaginar o jogo com um número maior de portas.

Imagine que você tenha 100 portas, você escolha 1 e o apresentador abra 98, deixando apenas a sua porta e uma outra, para você escolher. O apresentador não pode abrir a porta premiada e nem a sua porta. O prêmio está ou na sua porta ou na porta que ele deixou. A menos que você tenha acertado a porta logo de cara (1% de chance) a porta premiada será a outra (99% de chance). É claro que a chance de você ter escolhido a porta certa logo de cara é muito pequena, portanto certamente a porta premiada será a que ele deixou.

É a mesma coisa que você escolher entre uma porta ou as outras 99, de uma vez só. Se você escolher as outras 99, você tem 99% de chance. O apresentador, ao abrir as portas, só mostra para você qual dessas portas seria a correta caso a porta correta estivesse entre as 99 que você escolheu.

Com três portas o mesmo. Se há três portas, você escolhe uma e o apresentador abre outra, há 33,333% de chance de você ter acertado logo de cara. As outras 66,666% estão nas outras portas. O fato do apresentador abrir uma porta, só mostra para você qual das portas seria a correta, se as 66,666% de chance se mostrarem acertadas. Como, das duas portas com 66,666%, uma foi descartada, ocorre que essas 66,666% de chance passa para uma única porta.

 

[Vilya]

Bom, algumas pessoas já esplicaram exatamente o que acontece, vou deixar aqui o ponto de vista que me deixa confortável ao pensar nessas malditas portas

Entender o probleme consiste entender o que significa acertar e errar.

Vamos pensar no que ocorre entre a primeira escolha e a eliminação de uma porta errada, ANTES que lhe seja oferecia a segunda escolha.

Quando vc escolhe uma porta tem 1/3 de acertar e 2/3 de errar. O que significa acertar? Ter um carro na porta que você escolheu. O que significa errar? Ter o carro em uma das outras duas portas.

Quando uma porta é eliminada (lembre que não estamos pensando na segunda escolha ainda) em nada mudam suas chances, 1/3 para sua porta ser a certa e 2/3 para ser a errada. O que muda é a perspectiva do que significa errar. Acertar continua sendo ter um carro na sua porta. Errar significa ter um carro na porta fechada que você não escolheu, foi isso o que mudou até agora no problema.

A porta fechada que você não escolheu tem o DOBRO da chance de ser a certa. Neste momento você recebe uma nova oportunidade de escolher uma porta. Qual você prefere?

Se preferir podemos fazer uma análise caso a caso. Com 3 portas nem são tantos casos assim.

 

[dermeister]

Quando esse problema apareceu durante uma discussão aleatória na faculdade, bastou uma simulação em software para explicá-lo.

Programadores são pessoas estranhas: entendemos código melhor que linguagem natural